Question

6．如圖，等腰Rt△ABC與等腰Rt△BDE中，∠BAC=∠DBE=90°，連接CD、CE，取CD中點F，連接AF，判斷AF與CE的數量關系和位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 延長CA到M使得AM=AC，連接BM，延長MD、CB交于點N，延長CE交MN于H，由題意AF=$\frac{1}{2}$DM，接下來只要證明△BMD≌△BCE即可．

解答 結論：AF=$\frac{1}{2}$EC，AF⊥EC．
證明：延長CA到M使得AM=AC，連接BM，延長MD、CB交于點N，延長CE交MN于H．
∵∠BAC=90°，
∴BA⊥CM，
∵AM=AC，
∴BM=BC，∠BMC=∠BCM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BMC=∠BCM=45°，
∴∠MBC=90°，
∵∠DBE=∠MBC=90°，
∴∠MBD=∠CBE，
在△MBD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BC}\\{∠MBD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△MBD≌△CBE，
∴CE=DM，∠BMD=∠BCE，
∵AC=AM，FD=FC，
∴AF∥DM，AF=$\frac{1}{2}$DM，
∴AF=$\frac{1}{2}$DM，
∵∠BMN+∠N=90°，
∴∠BCH+∠N=90°，
∴∠CHN=90°即CH⊥MN，
∵MN∥AF，
∴CH⊥AF．
故AF=$\frac{1}{2}$EC，AF⊥EC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理、等角的余角相等、等腰直角三角形的性質等知識，利用中位線的性質構造輔助線是解決問題的關鍵．