Question

如圖為一Rt△ABC，∠ACB=90°，則：
（1）到此三角形三邊距離相等的點有多少個？
（2）用尺規在此三角形內部作出一個滿足上述條件的點．
（3）若三角形三邊分別為BC=a，AC=b，AB=c，求出（2）中點到三邊的距離．（用a，b，c表示）

Answer 1

分析：（1）應該有4個，易知△ABC的內心符合要求；另外三個分別是△ABC的一個內角與其他兩角的外角平分線的交點．
（2）作任意兩角的平分線，這兩條角平分線的交點即為所求作的點．
（3）可直接利用直角三角形內切圓半徑的公式進行求解．

解答：解：（1）有四個，分別是△ABC的一個內心和三個旁心（即三角形一個內角和另外兩角的外角平分線的交點）．
（2）分別作∠A、∠B的角平分線，兩條射線的交點即為所求作的點，如圖（點O即為求作的點）：


（3）由于點O到△ABC三邊的距離相等，那么點O為△ABC的內心，點O到三角形三邊的距離即為內切圓半徑；
由于△ABC是直角三角形，那么它的內切圓半徑為：R=

a+b-c

2

．

點評：此題主要考查了角平分線的性質以及直角三角形內切圓半徑的求法，難度適中；需要注意的是，（1）題中，三個旁心是容易被忽略的點，因此考慮問題一定要全面．