Question

（2013•邢臺一模）如圖，在Rt△ABC中，BC=20cm，AC=hcm，四邊形DEFC是矩形且點D、E、F在△ABC的邊上，設AD=xcm，矩形DEFC的面積為ycm²．
（1）當h=30cm時，求y與x之間的函數關系式；
（2）當h=30cm時，若y=96cm²，求x的值；
（3）h取何值時，y的最大值為180cm²？

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質可知：DE∥CF，由此可得△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得y與x之間的函數關系式；
（2）把h=30cm時，y=96cm²，代入（1）中的函數關系求出x的值即可；
（3）由（1）的思路可得到y和h的函數關系，利用函數的性質即可求出y的最大值為180cm²時，h的值．

解答：解：（1）∵四邊形DEFC是矩形，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，
∴

x

30

=

DE

20

，
∴DE=

2

3

x，
∵CD=30-x，
∴y=

2

3

x（30-x）=-

2

3

x²+20x；

（2）當h=30cm時，y=96cm²時，則96=-

2

3

x²+20x，
解得：x=24或6；

（3）由（1）可知

AD

AC

=

DE

BC

，
∴

x

h

=

h-x

20

，
∴y=-

20

h

x²+20x，
當x=-

20

2× 20 -h

=

1

2

h時，y的取值最大為

4× 20 -h ×0-202

4× 20 -h

=5h，
∴y的最大值為180cm²時則5h=180，
∴h=36．

點評：本題主要考查了矩形的對邊平行且相等的性質，相似三角形的判定和性質以及二次函數的最值問題，利用數形結合找出相似三角形是解題的關鍵．