Question

（2014•金山區一模）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜邊AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為D，射線PD交射線BC于點E．
（1）如圖2，若點E在線段BC的延長線上，設AP=x，CE=y，
①求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，求AP的長；
（2）設線段BE的中點為Q，射線PQ與⊙P相交于點I，若CI=AP，求AP的長．

Answer 1

分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由對頂角相等得∠PDA=∠CDE，則∠PAD=∠CDE，根據三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，則∠ABC=∠DEC，

BC

CE

=

DE

AB

，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根據勾股定理計算出AB=5，則PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y關于x的函數關系式；
②設BE的中點為Q，連結PQ，由于PB=PE，根據等腰三角形的性質得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，則△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-

4

5

x+4（圓心距），BQ=-

3

5

x+3（⊙Q的半徑），根據兩圓外切的性質得到-

4

5

x+4=x+（-

3

5

x+3），然后解方程即可；
（2）分類討論：當點E在線段BC延長線上時，利用（1）②的結論可得IQ=PQ-PI=-

9

5

x+4，CQ=BC-BQ=

3

5

x，在Rt△CQI中，根據勾股定理得CI²=CQ²+IQ²=（

3

5

x）²+（-

9

5

x+4）²=

18

5

x²-

72

5

x+16，再由CI=AP得到

18

5

x²-

72

5

x+16=x²，解得x₁=

20

13

，x₂=4，由于0＜x＜

5

2

，由此得到AP的長為

20

13

；
同理當點E在線段BC上時，IQ=PI-PQ=

9

5

x-4，CQ=BC-BQ=

3

5

x，在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=

18

5

x²-

72

5

x+16，利用CI=AP得到

18

5

x²-

72

5

x+16=x²，解得x₁=

20

13

，x₂=4，由于

5

2

＜x＜5，則AP的長為4，由此得到AP的長為

20

13

或4．

解答：解：（1）①∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠PAD=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ABC=∠DEC，

BC

CE

=

DE

AB

．
∴PB=PE．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴

3

y

=

5

5-2x

，
∴y=-

6

5

x+3（0＜x＜

5

2

）；
②設BE的中點為Q，連結PQ，如圖，
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ABC=90°，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

=

BQ

BC

，即

PQ

4

=

5-x

5

=

BQ

3

，
∴PQ=-

4

5

x+4，BQ=-

3

5

x+3，
當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，-

4

5

x+4=x+（-

3

5

x+3），解得x=

5

6

，即AP的長為

5

6

；
（2）當點E在線段BC延長線上時，
由（1）②的結論可得IQ=PQ-PI=-

4

5

x+4-x=-

9

5

x+4，
CQ=BC-BQ=3-（-

3

5

x+3）=

3

5

x，
在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=（

3

5

x）²+（-

9

5

x+4）²=

18

5

x²-

72

5

x+16，
∵CI=AP，
∴

18

5

x²-

72

5

x+16=x²，
解得x₁=

20

13

，x₂=4（不合題意，舍去），
∴AP的長為

20

13

；
當點E在線段BC上時，IQ=PI-PQ=x-（-

4

5

x+4）=

9

5

x-4，
CQ=BC-BQ=3-（-

3

5

x+3）=

3

5

x，
在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=（

3

5

x）²+（

9

5

x-4）²=

18

5

x²-

72

5

x+16，
∵CI=AP，
∴

18

5

x²-

72

5

x+16=x²，
解得x₁=

20

13

（舍去），x₂=4，
∴AP的長為4，
綜上所述，AP的長為

20

13

或4．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握兩圓相切的性質和三角形相似的判定與性質；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算；能運用分類討論的思想解決問題．