Question

如圖，直角坐標系中，有一半徑為的動圓⊙M，其圓心M從點（3，6）出發以每秒0.5個單位長度的速度沿y軸方向向下運動，當⊙M與直線y=x相切時，則⊙M運動的時間為    秒．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當圓M在直線y=x上方與直線相切時，根據題意畫出圖形，如圖所示，連接MB，過M作MA于x軸垂直，與直線y=x交于C點，根據直線y=x為第一、三象限的角平分線，得到三角形OAC及三角形MCB都為等腰直角三角形，由切線的性質得到MB=BC都等于圓的半徑，根據勾股定理求出MC的長，OA=CA都等于M的橫坐標，求出CA的長，用MC+CA得到MA的長，用原來M的縱坐標減去MA的長即為M運動的路程，利用路程除以速度即可求出此時M運動的時間；
當圓M在直線y=x下方與直線相切時，根據題意畫出圖形，連接MD，過M作x軸垂線，同理可得三角形EOF及三角形DOM都為等腰直角三角形，在三角形DEM中，根據勾股定理求出EM的長，根據M的橫坐標求出EF=OF的長，利用EF-EM求出EF的長，即為此時M的縱坐標，用原來M的縱坐標減去EF可求出M運動的路程，利用路程除以速度即可求出M運動的時間．
解答：解：若圓M在上方與直線y=x相切，此時切點為B，如圖1所示：
連接MB，則有MB⊥OB，過M作MA⊥x軸，與OB交于點C，
∵圓M的半徑為，即MB=，∠MCB=∠OCA=∠COA=45°，
在Rt△MCB中，由MB=BC=，
利用勾股定理得：MC=2，又M（3，6），
∴OA=AC=3，
則MA=MC+CA=2+3=5，
∴M運動了1個單位，又M的運動速度為每秒0.5個單位長度，
則此時用的時間為2秒；
若M在下方與直線y=x相切，此時切點為D，如圖2所示：
連接MD，過M作x軸的垂線，交y=x于E，交x軸于F，
∵M（3，6），又∠EOF=∠DEF=45°，
∴OF=EF=3，DE=DM=，
在Rt△DEM中，根據勾股定理得：EM=2，
此時MF=EF-EM=3-2=1，即M運動的路程為5個單位長度，
則此時用的時間是10秒，
綜上，圓M的運動時間是2或10秒．
故答案為：2或10秒
點評：此題屬于一次函數的綜合題，設計的知識有：等腰三角形的性質，勾股定理，切線的性質，利用了數形結合及分類討論的思想，根據題意畫出相應的圖形，并作出相應的輔助線是解本題的關鍵．