Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于點E，BF⊥DE于點F
（1）求證：BD平分∠ABF；
（2）求證：△BDF∽△DAE；
（3）求證：AB=BF+AE．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到BD=CD，∠ABC=∠C，根據垂直的定義得到∠F=∠CED=90°，推出△BDF≌△CDE，根據全等三角形的性質得到∠DBF=∠C，等量代換得到∠ABC=∠DBF，即可得到結論；
（2）根據余角的性質得到∠ADE=∠C，等量代換得到∠ADE=∠DBF，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；
（3）根據全等三角形的性質得到BF=CE，根據線段的和差即可得到結論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，∠ABC=∠C，
∵DE⊥AC于點E，BF⊥DE于點F，
∴∠F=∠CED=90°，
在△BDF與△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠CED}\\{∠BDF=∠CDE}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE，
∴∠DBF=∠C，
∴∠ABC=∠DBF，
∴BD平分∠ABF；
（2）∵∠ADE+∠CAD=∠C+∠CAD=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠F=∠AED=90°，
∴△BDF∽△DAE；
（3）∵△BDF≌△CDE，
∴BF=CE，
∵AC=AE+EC=AE+BF，
∴AB=BF+AE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．