Question

已知，矩形ABCD中，延長BC至E，使BE=BD，F為DE的中點，連接AF、CF．
求證：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF．

Answer 1

分析：根據已知及矩形的性質可得到∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF即∠ADF=∠BCF；
連接BF，利用SAS判定△ADF≌△BCF，根據全等三角形的對應角相等可得到∠AFD=∠BFC，再根據BF⊥DE即可得到AF⊥CF．

解答：證明：（1）在矩形ABCD中，
∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
∵F為DE中點，
∴DF=CF，
∴∠FDC=∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=∠BCF；

（2）連接BF，
∵BE=BD，F為DE的中點，
∴BF⊥DE，
∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，
在△AFD和△BFC中

AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF

，
∴△ADF≌△BCF，
∴∠AFD=∠BFC，
∵∠AFD+∠BFA=90°，
∴∠BFC+∠BFA=90°，
即∠AFC=90°，
∴AF⊥FC．

點評：此題考查了學生對矩形的性質及全等三角形的判定方法的掌握情況．