Question

類比學習：
有這樣一個命題：設x、y、z都是小于1的正數，求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
小明同學是這樣證明的：如圖，作邊長為1的正三角形ABC，并分別在其邊上截取AD=x，BE=z，CF=y，設△ADF、△CEF和△BDE的面積分別為S₁、S₂、S₃，
則，
，
．
由 S₁+S₂+S₃＜S_△ABC，得 ++＜．
所以 x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
類比實踐：
已知正數a、b、c、d，x、y、z、t滿足a+x=b+y=c+z=d+t=k．
求證：ay+bz+ct+dx＜2k²．

Answer 1

【答案】分析：首先作出邊長為k的正方形ABCD，并分別在各邊上截取：AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，則BE=x，AH=y，DG=z，CF=t，利用圖形面積求出ay+dx+ct+bz＜k²，進而得出答案即可．
解答：證明：如圖，作邊長為k的正方形ABCD．
并分別在各邊上截取：
AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，
∵a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴BE=x，AH=y，DG=z，CF=t．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴S₁=ay，S₂=dx，S₃=ct，S₄=bz．
∵S₁+S₂+S₃+S₄＜S_{正方形ABCD}，
∴ay+dx+ct+bz＜k²．
∴ay+bz+ct+dx＜2k²．
點評：此題主要考查了正方形的性質，根據已知構造正方形進而表示出各三角形面積是解題關鍵．