Question

矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，連接FC．
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點(diǎn)，tan∠ECF=，即可求得答案．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△AEF∽△DCE，
∴，
∵矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點(diǎn)，
∴DC=AB=2AD=4AE，
∴tan∠ECF==．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．