Question

有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬度7.2m，拱頂高出水平面2.4m，現有一艘寬3m，船艙頂部為正方形并高出水面2m的貨船要經過拱橋，請你判斷一下，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？說說你的理由．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，利用垂徑定理和勾股定理求出拱橋的半徑長，連接ON，OB，通過求距離水面2米高處即ED長為2時，橋有多寬即MN的長與貨船頂部的3米做比較來判定貨船能否通過（MN大于3則能通過，MN小于等于3則不能通過）．先根據半弦，半徑和弦心距構造直角三角形求出半徑的長，再根據Rt△OEN中勾股定理求出EN的長，從而求得MN的長．

解答：解：如圖，連接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D為AB中點，
∵AB=7.2m，
∴BD=

1

2

AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
設OB=OC=ON=r，則OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根據勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，解得r=3.9．
∵CD=2.4m，船艙頂部為正方形并高出水面AB=2m，
∴CE=2.4-2=0.4（m），
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OEN中，EN²=ON²-OE²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=

2.96

（m）．
∴MN=2EN=2×

2.96

≈3.44m＞3m．
∴此貨船能順利通過這座拱橋．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．