Question

18、如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．
（1）求∠OAD的度數；
（2）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據旋轉前后圖形不發生變化，得出三角形COD是等邊△OCD，從而表示出出∠AOD與∠ADO，進而求出∠OAD；
（2）根據等腰三角形的性質，分別假設AO=AD，OA=OD，OD=AD，從而求出α．

解答：解：（1）∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，OC=CD，
∴三角形COD是等邊△OCD，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°；

（2）①、根據旋轉的性質，CO=CD，∠OCD=60°，所以△COD為等邊三角形；
②當x=150°時，∠ADO=150°，而∠ODC=60°，所以∠ODA=90°，
即△AOD為直角三角形；
③、∠AOC=360°-110°-x=250°-x，∠AOD=∠AOC-60°=190°-x，
∠ADC=∠BOC=x，所以∠ODA=x-60°，
△AOD為等腰三角形，
當AO=OD進，∠AOD+2∠ODA=180°，
即190°-x+2×（x-60°）=180°，解得x=110°，
當AO=AD時，∠AOD=∠ODA，即190°-x=x-60°，解得x=125°，
當OD=AD時，2×（190°-x）+x-60°=180°，解得x=140°
所以當x為110°、125°、140°時，△AOD是等腰三角形．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質與判定，以及等腰三角形的性質和旋轉的性質等知識，根據旋轉前后圖形不變是解決問題的關鍵．