Question

9．如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，已知∠AOC不是直角，射線OD平分∠AOC，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠DOE．
（1）當∠AOC的度數在0°到90°之間時（不包含0°和90°），求∠FOB與∠DOC的度數和；
（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度數．

Answer 1

分析 （1）先根據射線OD平分∠AOC，∠AOD=∠COD，射線OE平分∠BOC，得∠COE=∠BOE，再根據∠AOC+∠BOC=180°，得出∠DOE=90°，由射線OF平分∠DOE，得∠DOF=∠EOF=45°，從而求得∠FOB+∠DOC的度數；
（2）設∠AOD=∠COD=x°，分∠AOC為銳角和鈍角兩種情況，根據∠DOC=3∠COF，得出x的值，即可求得∠AOC的度數．

解答 解：如圖1，
（1）∵射線OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵射線OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=90°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°，
∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°-∠DOF=180°-45°=135°；

（2）設∠AOD=∠COD=x°，則∠AOC=2x°，
由（1）的證明過程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°，
∠AOC≠90°，分情況考慮如下：
①當∠AOC為銳角時，如圖1，∠COF=∠DOF-∠COD=45°-x，
∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3•（45°-x），
解得x=33.75°，
∴∠AOC=2x=67.5°．
②當∠AOC為鈍角時，如圖2，∠COF=∠COD-∠DOF=x-45°，
∵∠DOC=3∠COF，
∴x=3•（x-45°），
解得x=67.5°，
∴∠AOC=2x=135°．
綜合，可得∠AOC=67.5°或135°．

點評 本題考查了角的計算和角平分線的定義，一定要注意角平分線的幾種表示方法．如：∠1=∠2，∠1=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOB=2∠1．