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如圖,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),∠AOB=30°,∠ABO=90°,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn),求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點(diǎn)O、B)上,是否存在一點(diǎn)C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=,過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸,垂足為D,利用已知條件可以求出OD,BD,也就求出B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法把A,B,O三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
(3)設(shè)存在點(diǎn)C(x,x2+x),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點(diǎn)F,則S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|,而|CF|=yC-yF=x2+x-x=-x2+x,這樣可以得到S△OBC=x2+x,利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值,也可以求出C的坐標(biāo).
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸,垂足為D,則OD=,BD=
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為().(1分)

(2)將A(2,0)、B()、O(0,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,
(2分)
解方程組,有a=,b=,c=0.(3分)
∴所求二次函數(shù)解析式是y=x2+x.(4分)

(3)設(shè)存在點(diǎn)C(x,x2+x)(其中0<x<),使四邊形ABCO面積最大
∵△OAB面積為定值,
∴只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.(5分)
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點(diǎn)F,
則S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|,(6分)
而|CF|=yC-yF=x2+x-x=-x2+x,
∴S△OBC=x2+x.(7分)
∴當(dāng)x=時(shí),△OBC面積最大,最大面積為.(8分)
此時(shí),點(diǎn)C坐標(biāo)為(),四邊形ABCO的面積為.(9分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形變換、解直角三角形、利用二次函數(shù)探究不規(guī)則圖形的面積最大值重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),能力要求極高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

20、(1)以下列正方形網(wǎng)絡(luò)的交點(diǎn)為頂點(diǎn),分別畫出兩個(gè)相似比不為1的相似三角形,使它們:
(1)都是直角三角形;(2)都是銳角三角形;(3)都是鈍角三角形.

(2)如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1).
①以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2),畫出圖形;
②分別寫出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo);
③如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),寫出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),A、B的坐標(biāo)分別為(3,1)、(2,-1).
(1)在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作△OAB的位似三角形OCD.(要求:新圖與原圖的相似比為2);
(2)分別寫出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D的坐標(biāo);
(3)求△OCD的面積;
(4)如果△OAB內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),寫出點(diǎn)M在△OCD內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
(3)當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)Q為平移后的拋物線的一動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

作圖題:如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1).
(1)以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2,畫出圖形;
(2)分別寫出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,-3)、(4,-2)、(3,1),以O(shè)為位似中心作△ABC的位似三角形(只作一個(gè)圖形即可),要求:新圖與原圖的相似比為2,并寫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

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