Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c的頂點D在直線y=x上運動．拋物線與y軸相交于C點．
（1）當b=-4時，求C點坐標；
（2）拋物線與x軸相交于A、B兩點，當△ABD為直角三角形時，求b，c的值；
（3）線段MN的端點M（-2，4），N（-1，1），若拋物線與線段MN有公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）由一次函數圖象上點的坐標特征和二次函數頂點坐標公式知D（-

b

2

，-

b

2

）．所以把點D的坐標代入二次函數解析式即可求得c=6；
（2）利用兩根之和與兩根之積公式、等腰直角三角形的性質即可求出b、c的值；
（3）將點M、N的坐標分別代入拋物線解析式求得的b的值即為b的最值．

解答：解：∵拋物線y=x²+bx+c的頂點D在直線y=x上運動，
∴設拋物線y=x²+bx+c的頂點D的坐標是（-

b

2

，-

b

2

）．
（1）如圖1，∵點D在拋物線上，
∴-

b

2

=（-

b

2

）²+b•（-

b

2

）+c，即c=-

b

2

+

b2

4

．
又∵b=-4，
c=-

-4

2

+

(-4)2

4

=6，即c=6．
令x=0，則y=c=6，即C（0，6）；

（2）如圖2，連接AD、BD．
∵點A、B是拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個交點，點D是頂點，
∴AD=BD，
∴在直角△ABD中，∠ADB=90°．
設A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁+x₂=-b，x₁x₂=c．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4c

，
則

b2-4c = b 2 c=- b 2 + b2 4

，
解得，

b=8 c=12

，即b，c的值分別是8、12；

（3）如圖3，當點M（-1，1）在拋物線y=x²+bx+c上時，b取最小值，
所以，1=1-b+c，即b=c，
則b=-

b

2

+

b2

4

，解得b=6；
當點N（-2，4）在拋物線y=x²+bx+c上時，b取最大值，所以4=4-2b+c，即2b=c，
則2b=-

b

2

+

b2

4

，解得b=10，
所以b的取值范圍是6≤b≤10．

點評：本題綜合考查了一次函數、二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象的性質以及等腰直角三角形的性質．解答（3）題時，采用了“數形結合”的數學思想，降低了題的難度．