Question

對于正數x，規定f（x）=

x2

1+x2

，如f（1）=

1

1+1

=

1

2

（1）計算f（2）=

4

5

；f（

1

2

）=

1

5

；f（2）+f（

1

2

）=

1

．f（3）+f（

1

3

）=

1

（2）猜想f（x）+f(

1

x

)=

1

；請予以證明．
（3）現在你會計算f(

1

2011

)+f(

1

2010

)+f(

1

2009

)+f(

1

2008

)+f(

1

2007

)+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）+f（2011）的值了嗎，寫出你的計算過程．

Answer 1

分析：（1）根據已知f（x）=

x2

1+x2

，分別把x的值代入即可求出答案；
（2）根據已知條件，分別把f（x）和f（

1

x

）的值求出，再進行相加即可求出答案；
（3）根據（2）所知f（x）+f(

1

x

)=1，再根據所給的式子分別進行結合，即可求出答案．

解答：解：（1）∵f（x）=

x2

1+x2

，
∴f（2）=

22

1+22

=

4

5

，
f（

1

2

）=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，
f（2）+f（

1

2

）=

4

5

+

1

5

=1
f（3）+f（

1

3

）=

32

1+32

+

( 1 3 )2

1+( 1 3 )2

=

9

10

+

1

10

=1；
（2）：猜想f（x）+f(

1

x

)=1，
證明如下：∵f（x）=

x2

1+x2

，
∴

f( 1 x )= ( 1 x )2 1+( 1 x )2 = 1 x2 1+ 1 x2 = 1 x2 x2+1 x2 = 1 x2+1

，
∴f（x）+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1；
（3）f(

1

2011

)+f(

1

2010

)+f(

1

2009

)+f(

1

2008

)+f(

1

2007

)+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）+f（2011）
=f(

1

2011

)+f（2011）+f(

1

2010

)+f（2010）+…+f（

1

2

）+f（2）+f（1）
=1+1+…+1+

1

2

=2010

1

2

．
故答案為：

4

5

，

1

5

，1，1，1．

點評：此題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是找出規律，再把x的值代入，做題時要細心．