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已知直線l與⊙O交于不同的兩點E,F,CD是⊙O的直徑,CA⊥l,DB⊥l,垂足分別為A,B.若AB=7,BD-AC=1,AE=1,試問在線段AB上是否存在點P,使得以點P,A,C為頂點的三角形與以點P,B,D為頂點的三角形相似?若存在,求出AP的長;若不存在,請說明理由.
(1)若l與直徑CD不相交,如圖所示,

(i)作OH⊥AB于H,易得AE=BF,此時△ACE△BED,△AFC△BDF,
則E,F為滿足的點,故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
(ii)若除E,F外還存在點P使△APC△BPD,設AC=x,BD=y,則y-x=1,
∵Rt△ACERt△BED,故
x
AE
=
EB
y
,得xy=6
于是x=2,y=3或x=-3,y=-2(舍去)
∵△APC△BPD,故
AP
AC
=
BP
BD
,即
AP
2
=
7-AP
3
,解得AP=
14
5

故存在第三個滿足條件的點P,且AP=
14
5

綜合(i),(ii),滿足條件的點有三個,AP的長分別為1,6,
14
5


(2)若l與直徑CD相交,且交點為Q,如圖
(i)由∠AQC=∠DQB,得Rt△ACQRt△BDQ,則點Q為滿足條件的點,
設AC=x,BD=y,則y-x=1,
又∠DEB=∠ECA,則Rt△ACERt△BED,
AC
BE
=
AE
BD
,得xy=8,
于是,x=
33
-1
2
,y=
33
+1
2
或x=
-
33
-1
2
,y=
-
33
+1
2
(舍去)
∵Rt△ACQRt△BDQ,∴
AQ
QB
=
AC
BD
,解得AQ=
231-7
33
66

(ii)若除Q外,還存在點P,使△APC△BDP,則
AP
BD
=
AC
PB

整理得AP2-7AP+8=0,解得AP=
17
2

綜合(i),(ii),滿足條件的點P有三個,AP的長分別為
231-7
33
66
7+
17
2
7-
17
2

所以,綜合(1)(2)可得,滿足條件的點共有6個.AP的長度為:
1,6,
14
5
231-7
33
66
7+
17
2
7-
17
2

練習冊系列答案
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A.①②B.①③④C.①②④D.①②③④

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A.60°    C.40°       D.72°         D、60°或120°  

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