Question

【題目】如圖1，矩形擺放在平面直角坐標系中，點在軸上，點在軸上，，，過點的直線交矩形的邊于點，且點不與點、重合，過點作，交軸于點，交軸于點．

（1）若為等腰直角三角形．

①求直線的函數解析式；

②在軸上另有一點的坐標為，請在直線和軸上分別找一點、，使 的周長最小，并求出此時點的坐標和周長的最小值．

（2）如圖2，過點作交軸于點，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①直線解析式， ②N(0,),周長的最小值為；（2）.

【解析】

（1）①利用矩形的性質確定A、B、C點的坐標，再利用等腰三角的性質確定，所以，確定P點的坐標，再根據A點的坐標確定確定直線AP的函數表達式. ②作G點關于y軸對稱點G'(-2,0)，作點G關于直線AP對稱點G'(3,1)

連接G'G'交y軸于N，交直線AP于M，此時ΔGMN周長的最小．（2）過P作PM⊥AD于M，先根據等腰三角形三線合一的性質證明DM=MA ，再根據角角邊定理證明ΔODE≌ΔMDP，根據全等三角形的性質求出點P、D的坐標，代入直線解析式得k=2,b=-2，所以直線PE的解析式為y=2x-2.

（1）①∵矩形，

∴，

∵為等腰直角三角形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

設直線解析式，過點，點

∴ ∴

∴直線解析式

②作點關于軸對稱點，作點關于直線對稱點

連接交軸于，交直線于，此時周長的最小．

∵

∴直線解析式

當時，，∴

∵

∴周長的最小值為

（2）如圖：作于

∵ ∴且

∴，且 ∴

∵四邊形是平行四邊形 ∴

又∵

∴

∴ ∴

∵ ∴

∴

設直線的解析式

∴

∴直線解析式