Question

已知：如圖，在銳角∠MAN的邊AN上取一點B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長ED交AN于F.

 

 

1.猜想ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

2.若cos∠MAN=，AE=，求陰影部分的面積.

 

Answer 1

 

1.（1）DE與⊙O相切.

理由如下：

連結OE.

 

 

∵AE平分∠MAN,

∴∠1=∠2.

∵OA=OE,

∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3,

∴OE∥AD.

∴∠OEF=∠ADF=90°

即OE⊥DE，垂足為E.

又∵點E在半圓O上，

∴ED與⊙O相切.

2.∵cos∠MAN=,

∴∠MAN=60°.

∴∠2=∠MAN=×60°=30°,

∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°.

∴∠2=∠AFD，

∴EF=AE=.

在Rt△OEF中，tan∠OFE=，

∴tan30°=，

∴OE=1.

∵∠4=∠MAN=60°，

∴S陰=

=.

 解析:略