Question

已知：如圖，在銳角∠MAN的邊AN上取一點B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長ED交AN于F．若cos∠MAN=

1

2

，AE=

3

，則陰影部分的面積=

3

2

-

1

6

π

．

Answer 1

分析：由已知可得到∠MAN=60°，從而推出∠2=∠AFD=30°，根據等角對等邊得到EF=AE，再根據S_陰=S_△OEF-S_扇形OEB即可求解．

解答：解：連接OE，
∵cos∠MAN=

1

2

，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=

1

2

∠MAN=

1

2

×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD=∠3=60°，
∴∠OEF=90°，EF=AE=

3

，
在Rt△OEF中，tan∠OFE=

OE

EF

，
∴tan30°=

OE

3

．
∴OE=1，
∵∠4=∠2+∠3=60°，
∴S_陰=S_△OEF-S_扇形OEB=

1

2

×1×

3

-

60π×12

360

=

3

2

-

1

6

π．

點評：本題考查了扇形的面積計算，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找出不規則圖形面積的表示方法，難度一般．