Question

已知：如圖，在銳角∠MAN的邊AN上取一點B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長ED交AN于F．
（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若cos∠MAN=

1

2

，AE=

3

，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等邊對等角可求得∠1=∠3，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到OE⊥DE，因為OE是半徑，從而得到ED與⊙O相切．
（2）由已知可得到∠MAN=60°，從而推出∠2=∠AFD=30°，根據(jù)等角對等邊得到EF=AE，再根據(jù)S_陰=S_△OEF-S_扇形OEB即可求解．

解答：解：（1）DE與⊙O相切．（1分）
理由如下：
連接OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2．
∵OA=OE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OE∥AD．
∴∠OEF=∠ADF=90°．（2分）
∴OE⊥DE，垂足為E．
∵點E在半圓O上，
∴ED與⊙O相切．（3分）

（2）∵cos∠MAN=

1

2

，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=

1

2

MAN=

1

2

×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD．
∴EF=AE=

3

．（4分）
在Rt△OEF中，tan∠OFE=

OE

EF

，
∴tan30°=

OE

3

．
∴OE=1．（5分）
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S_陰=S_△OEF-S_扇形OEB=

1

2

×1×

3

-

60•π•12

360

=

3

2

-

1

6

π．（6分）

點評：此題主要考查學(xué)生對切線的判定方法及扇形面積計算的綜合運用能力．