Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（4，2）．過點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N．

（1）求直線DE的解析式和點M的坐標；
（2）若反比例函數(shù) （x＞0）的圖象經(jīng)過點M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數(shù)的圖象上；
（3）若反比例函數(shù) （x＞0）的圖象與△MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點D，E的坐標為（0，3）、（6，0），
∴ ，
解得k=- ，b=3；
∴ ；
∵點M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，
∴點M的縱坐標為2；
又∵點M在直線 上，
∴ ；
∴x=2；
∴M（2，2）
（2）解：∵ （x＞0）經(jīng)過點M（2，2），
∴m=4；
∴ ；
又∵點N在BC邊上，B（4，2），
∴點N的橫坐標為4；
∵點N在直線 上，
∴y=1；
∴N（4，1）；
∵當x=4時，y= =1，
∴點N在函數(shù) 的圖象上
（3）解：當反比例函數(shù) （x＞0）的圖象通過點M（2，2），N（4，1）時m的值最小，當反比例函數(shù) （x＞0）的圖象通過點B（4，2）時m的值最大，
∴2= ，有m的值最小為4，
2= ，有m的值最大為8
∴4≤m≤8
【解析】（1）把點D，E的坐標代入解析式，利用待定系數(shù)法，求出DE的解析式，進而利用M在AB邊上，縱坐標已知，代入解析式，求出橫坐標；（2）把N點的橫坐標代入解析式求出y值，與其縱坐標比較，等于其橫坐標，可以判定N在雙曲線上；（3）可以算出△MNB邊上的點B、點N的橫縱坐標之積最大與最小，可得出m的范圍4≤m≤8.