Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC于點F.

（1）判斷DF與是⊙O的位置關系，并證明你的結論。
（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）相切。證明：如圖，連OD，AD，

∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴D是BC的中點，
∵OA=OB∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線.
（2）解：∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝67.5°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝45°,
連接OE，則∠BOE＝2∠BAC＝90°，∴∠AOE＝90°,
∴S陰影＝ ×4×4＝4π－8.
【解析】（1）要證與圓有公共點的切線，可連接圓心和公共點，證直線和半徑垂直，即OD⊥DF，可利用中位線定理和等腰三角形、直徑所對90度圓周角的性質證出；（2）S陰影可轉化為扇形面積減去AOE面積，需求圓心角∠BOE度數.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．