Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB為圓O的直徑，CM是圓O的切線，D是CM上一點，連接BD，若∠DBC=∠CAB，
（1）求證：BD是圓O的切線；
（2）若∠ABC=30°，OA=4，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）欲證BD是圓O的切線，只需證明BD⊥AB即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得BC的長度．然后由等邊△DCB的性質推知BD=BC．

解答：（1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠CBA+∠DBC=90°，即∠ABD=90°．
∴BD是圓O切線；

（2）解：∵∠ABC=30°，OA=4，
∴AC=

1

2

AB=4，BC=

AB2-AC2

=4

3

．
∵DC、DB是圓O切線，
∴DC=DB，
∵∠DBC=∠DBA，∠DBA=60°，
∴△DCB是等邊三角形，
∴BD=BC=4

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質、切線的判定與性質以及勾股定理．切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．