Question

（2007•昌平區一模）（1）兩個全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如圖1放置，點B，A，D在同一條直線上．那么點C，A，E在同一條直線上；
①在圖1中，作∠ABC的平分線BF，過點D作DF⊥BF，垂足為F；
②猜想：線段BF，CE的關系，結論是：______．
（2）將（1）中的“等腰直角三角形”換成“直角三角形”，其它條件不變，如圖2，連接CE，請問你猜想的BF與CE的關系是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）畫圖如圖，比較簡單；（2）結論是BF⊥CE，BF=CE．過E作EH∥BD交CB的延長線于H，容易證明△HCE等腰直角三角形，由此可以得到∠HCE=∠HEC=45°，而根據已知條件可以得到∠FBC=45°，∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°，這樣就可以得到BF⊥CE，然后根據已知條件和勾股定理計算證明BF=，CE=BD，從而證明了BF=CE．從證明過程可以看出無論三角形是等腰直角三角形還是普通直角三角形，對題目的結果沒有影響．
解答：解：（1）①畫圖
②結論是：BF⊥CE，BF=CE．

（2）如圖，①證明BF=CE
∵BF為∠ABC的平分線，∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABF=45°
∵DF⊥BF
∴∠F=90°
∵點B，A，D在同一條直線上，△BFD為直角三角形
∴cos∠FBD=
∴BF=
又∵Rt△ABC≌Rt△EDA
∴BC=AD，BA=DE
設BC=AD=a，BA=DE=b
∴BD=a+b
∴BF=
過E作EH∥BD交CB的延長線于H
∵∠CBA=90°，∠ADE=90°
∴∠CBA=∠ADE
∴CH∥DE
∴四邊形BHED為矩形
∴BH=DE=b，HE=BD=a+b
∴CH=a+b
∴△HCE等腰直角三角形
由勾股定理，得CE=
∴BF=CE
②證明BF⊥CE
∵Rt△CHE是等腰直角三角形
∴∠HCE=∠HEC=45°
∵∠FBC=45°
∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°
∴BF⊥CE
∴BF⊥CE，BF=CE
仍然成立．
點評：此題把直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理等知識結合起來，綜合利用它們解題，有一定的難度，要求學生綜合分析問題的能力比較強．