Question

如圖，點D是等邊△ABC外一點，且DB=DC，∠BDC=120°，將一個三角尺60°的頂點放在點D上，三角尺的兩邊DP、DQ分別與射線AB、CA相交于E、F兩點．
（1）當EF∥BC時，如圖①，證明：EF=BE+CF；
（2）當三角尺繞點D旋轉到如圖②的位置時，線段EF、BE、CF之間的上述數量關系是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，寫出EF、BE、CF之間的數量關系，并說明理由；
（3）當三角尺繞點D繼續旋轉到如圖③的位置時，（1）中的結論是否發生變化？如果不變化，直接寫出結論；如果變化，請直接寫出EF、BE、CF之間的數量關系．

Answer 1

分析：（1）根據△ABC是等邊三角形知道AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，而DB=DC，∠BDC=120°，這樣可以得到△DCF和△BED
是直角三角形，由于EF∥BC，可以證明△AEF是等邊三角形，也可以證明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此進一步得到
DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，這樣可以得到BE=

1

2

DE=

1

2

DF=CF，而△DEF是等邊三角形，所以題目的結論就可以證明出來了；
（2）結論仍然成立．如圖，在AB的延長線上取點F’，使BF’=CF，連接DF’，根據（1）的結論可以證明△DCF≌△DBF’，
根據全等三角形的性質可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以證明△EDF’≌△EDF，從而證明題目的結論．
（3）結論發生變化．EF=BE-CF．

解答：解：如圖，點D是等邊△ABC外一點，且DB=DC，∠BDC=120°，將一個三角尺60°的頂點放在點D上，角的兩邊分別為DP、DQ
（1）證明：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°，
∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴AE=AF．
∴BE=AB-AE=AC-AF=CF．
又∵DB=DC，∠DBE=∠DCF，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF∠BDE=∠CDF=30°．
∴BE=

1

2

DE=

1

2

DF=CF．
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形．
即DE=DF=EF．
∴BE+CF=

1

2

DE+

1

2

DF=EF．

（2）結論仍然成立．
證明：如圖，在AB的延長線上取點F′，使BF′=CF，連接DF′．
由（1）得，∠DBE=∠DCF=90°
則∠DBF′=∠DCF=90°，
又∵BD=CD，
∴△DCF≌△DBF’（SAS）
∴DF=DF′，∠BDF′=∠CDF，
又∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠EDB+∠BDF′
=∠EDF′=∠CDF=60°，又DE=DE，
∴△EDF′≌△EDF（SAS）．
∴EF=EF′=BE+BF’=BE+CF．

（3）結論發生變化．EF=CF-BE．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定及性質；利用等邊三角形的性質去探究全等三角形，利用全等三角形的性質解決題目的圖形變換規律是非常重要的，要注意掌握．