Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．

（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°．

①若AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長．

②若AC⊥BD，求證：AD=CD；

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）5或6.5．

【解析】

試題分析：（1）①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；

②只要證明△ABD≌△CBD，即可解決問題；

（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．若EF與BC不垂直，①當AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，②當BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，分別求解即可；

試題解析：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴BD=AC==．

（2）如圖1中，連接AC、BD．

∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，∴四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．

若EF與BC不垂直，①當AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴AE=AB=5．

②當BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴BF=PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5．