Question

如圖，在⊙O中，弦AB與DC相交于點E，AB=CD．
（1）求證：△AEC≌△DEB；
（2）點B與點C關于直線OE對稱嗎？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證△AEC≌△DEB，由于AB=CD，根據(jù)等弦所對的弧相等得

AB

=

CD

，根據(jù)等量減等量還是等量，得

BD

=

CA

，由等弧對等弦得BD=CA，由圓周角定理得，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，即可根據(jù)AAS判定；
（2）由△AEC≌△DEB得，BE=CE，得到點E在直線BC的中垂線上，連接BO，CO，BO和CO是半徑，則BO和CO相等，即點O在線段BC的中垂線上，亦即直線EO是線段BC的中垂線，所以點B與點C關于直線OE對稱．

解答：（1）證明：∵AB=CD，
∴

AB

=

CD

．
∴

AB

-

AD

=

CD

-

AD

．
∴

BD

=

CA

．
∴BD=CA．
在△AEC與△DEB中，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB（AAS）．

（2）解：點B與點C關于直線OE對稱．
理由如下：如圖，連接OB、OC、BC．
由（1）得BE=CE．
∴點E在線段BC的中垂線上，
∵BO=CO，
∴點O在線段BC的中垂線上，
∴直線EO是線段BC的中垂線，
∴點B與點C關于直線OE對稱．

點評：本題利用了圓周角定理、等弦所對的弧相等，等弧對等弦、全等三角形的判定和性質求解．