Question

【題目】如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.

（問題發現）

（1）如圖(2)，當n＝1時，BM與PD的數量關系為 ，CN與PD的數量關系為 .

（類比探究）

（2）如圖(3)，當n＝2時，矩形AMNP繞點A順時針旋轉，連接PD，則CN與PD之間的數量關系是否發生變化？若不變，請就圖(3)給出證明；若變化，請寫出數量關系，并就圖(3)說明理由.

（拓展延伸）

（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當矩形AMVP旋轉至C，N，M三點共線時，請直接寫出線段CN的長

Answer 1

【答案】（1）BM＝PD； （2）見解析 （3）或

【解析】

（1）當n＝1時四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據得出，從而得出結論；

（2）連接AC，證明,即可求解；

（3）分兩種情況考慮：通過證得出對應邊數量關系，設，則解直角三角形AQM，從而計算出QM的長度，從而求算CN．

（1）解：∵當n＝1時四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形

∴AM=AP,AB=AD

∴BM＝PD

又∵

∴

∴

（2）CN與PD之間的數量關系發生變化，.

理由：連接AC，如圖：

在矩形ABCD和矩形AMNP中，

∵.AD=2AB， AP=2AM，

∴，

∴.

易得

∴△ANC∽△APD

∴

∴

（3）分兩種情況考慮：

①如圖：

∵已知AD＝4，AP＝2,

∴AB=2,AM=PN=1

由圖知：

∴

設，則 ，在直角三角形AQM中：

解得： （舍）

∴ ，

∴

∴

②如圖：

由①可得：，，MN=2

∴