Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線（）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）當a=1時，拋物線頂點D的坐標為________，AB=_________；

（2）AB的長是否與a有關？說明你的理由；

（3）若將拋物線（）沿y軸折疊，得到另一拋物線，其頂點為D，如圖②．連接CD，CD和DD．

①若△CDD為等邊三角形時，則a=______；

②若△CDD為等腰直角三角形時，則a=______．

Answer 1

【答案】（1）(1，－4)，4；（2）AB的長與a無關，見解析；（3）①； ② 1

【解析】

（1）將a=1代入解析式，并將解析式變形為頂點式，得到頂點坐標；另y=0得到點A、B的坐標；

（2）A、B是拋物線與x軸的交點，先求解出A、B兩點的坐標，根據坐標求解距離，看計算得出的結果中是否含有字母a；

（3）①求解出點C、D、D的坐標(用a表示)，利用等邊三角形三邊相等的性質求解a；

②同上，先得出坐標點，利用勾股股定理的逆定理列寫等式求解a

（1）將a=1代入解析式得：

變形為頂點式為：

∴頂點坐標為：（1，－4）

另y=0得：

解得：x=－1或x=3

設點A在點B的左側

∴A(－1，0)，B(3，0)

∴AB=4

（2）AB的長與a無關

理由是：當y=0時，

．

解得，．

∴A（－1，0），B（3，0）．

∴AB=3－（－1）= 4．

∴AB的長與a無關

（3）①拋物線

點C為與y軸的交點，即x=0

得：y=-3a，∴C(0，－3a)

將拋物線變形為頂點式為：

故頂點D(1，－4a)

∵D與點D關于y軸對稱

∴D(－1，4a)

∴DD=2，CD=

∵△CDD是等邊三角形

∴DD=CD，即2=

解得：a=

②∵CD=CD，∴△CDD肯定是等腰三角形

∵△CDD是等腰直角三角形

∴，即：

解得：a=1