Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，將矩形沿對角線AC折疊，折疊后點B落在點E處，CE交AD于點F，連接DE．

（1）求證：；

（2）當AB與BC滿足什么數量關系時，四邊形AODE是菱形？請說明理由；

（3）將圖1中的矩形ABCD改為平行四邊形ABCD，其它條件不變，如圖2，若AB=，∠ABC=30°，點E在直線AD上方，試探究：△AED是直角三角形時，BC的長度是多少．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，四邊形ABCD是菱形，理由見解析；（3）BC=12或8．

【解析】

（1）根據折疊的性質和平行線的判定定理，即可解答；

（2）先利用折疊的性質，證明四邊形AODE是平行四邊形，再利用菱形的判定定理即可解答；

（3）根據折疊的性質，再分兩種情況進行討論即可解答．

（1）∵矩形ABCD沿AC折疊

∴∠1=∠2

∵AD∥BC

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴AF=CF

∵AD=BC，BC=CE，

∴AD=CE，

∴AD－AF=CE－CF

即EF=DF，

∴∠FED=∠FDE

∵∠AFC=∠EFD，

∴∠3=∠ADE，

∴AC∥DE

（2）當時，四邊形ABCD是菱形．

理由如下：∵在Rt△ABC中，

∴∠1=30°

∴∠3=∠1=30°，∠BAO=60°

∵矩形ABCD沿AC折疊

∴∠BAO=∠CAE=60°

在矩形ABCD中，OA=DO

∴∠3=∠ADO=30°

∴∠EAD=∠CAE－∠3=30°

∴∠EAD=∠ADO

∴AE∥OD

由（1）可知AC∥DE，

∴四邊形AODE是平行四邊形

又∵OA=DO，

∴四邊形AODE是菱形

（3）∵沿AC折疊，

∴∠ACB=∠ACE，BC=CE

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠DAC=∠ACE，

∴FA=FC

∵AD=BC，BC=CE，

∴AD=CE，

∴AD－FA=CE－FC

即EF=DF

①時，如圖1，依題可知

，

在中，

，

∴，

∴．

②如圖2，當時，

∵∠AEC=∠ABC=30°，

∴∠FED=60°

∵EF=FD，

∴∠FDE=∠FED=60°

在Rt△AED中，，

∴

綜上可知：當點E在直線AD上方時，BC=12或8．