Question

5．如圖，直角坐標系中，O為原點，A（6，0），在等腰三角形ABO中，OB=BA=5，點B在第一象限，C（0，k）為y軸正半軸上一動點，作以∠CBD為頂角的等腰三角形CBD，且∠CBD=∠OBA，連結AD．
（1）①求點B的坐標；②若BD∥OC，求k的值．
（2）求證：OC=AD；
（3）設直線AD與y軸交于點M（0，m），當點C在y軸上運動時，點M的位置是否改變？若改變，求m與k的函數關系式，若不變，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①利用等腰三角形的三線合一得出點B的橫坐標為3，再利用勾股定理即可得出點B的縱坐標為4即可；
②先判斷出△BOC是等腰三角形，即可得出點C在線段OB的垂直平分線上，先確定出直線OB解析式和OB中點坐標，即可得出CD的解析式即可；
（2）直接判斷出△OBC≌△ABD即可得出結論；
（3）利用定值的差仍然是定值判斷出點M的位置不變，再利用∠DAM的正切值是定值，由k=$\frac{25}{8}$時，確定出點D坐標即可得出直線AD解析式，即可．

解答 解：（1）①如圖1，過點B作BE⊥OA于E，
∵OB=BA=5，OA=6，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴BE=4，
∴B（3，4）；
②如圖2，∵BD∥OC，
∴BD⊥OA，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∵∠CBD=∠OBA，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠CBD，
∴∠OBC=∠OBD，
∵BC=BD，
∴OB⊥CD，
∵BD∥OC，
∴∠OBD=∠BOC，
∴∠BOC=∠OBC，
∴BC=OC，
∴CD垂直平分OB，
∵B（3，4），
∴E（$\frac{3}{2}$，2），
∵直線OB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{8}$，
∴C（0，$\frac{25}{8}$），
∴k=$\frac{25}{8}$．
（2）如圖3，連接AD，
∵∠CBD=∠OBA，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{∠OBC=∠ABD}\\{OB=BA}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD，
∴OC=AD．
（3）當點C在y軸上運動時，點M的位置是不發生改變．
理由：如圖4，∵△OAB的位置和邊是不變的，
∴∠BAO和∠BOC的大小不變．
由（2）△OBC≌△ABD，
∴∠BOC=∠BAD，都是定值，
∴∠OAM=∠BAO-∠BAD，是定值，
∴直線AD是不變的，
即：當點C在y軸上運動時，點M的位置是不發生改變．
當k=$\frac{25}{8}$時，BD⊥OA，BD=BC=$\sqrt{9+（4-\frac{25}{8}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴點D的縱坐標為：4-$\sqrt{10}$，
∴D（3，4-$\sqrt{10}$），
∵A（6，0），
∴直線AD的解析式為y=$\frac{\sqrt{10}-4}{3}$x+8-2$\sqrt{10}$，
∴m=8-2$\sqrt{10}$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，銳角三角函數，平行線的性質，解本題的關鍵是判斷出OC=AD，是一道中等難度的題目．