Question

已知：關于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）當a取何值時，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有兩個不相等的實數根；
（2）當整數a取何值時，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整數．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有兩個不相等的實數根，則△＞0，且二次項系數不為0，列出不等式組，即可求出a的取值范圍．
（2）分a-1=0和a-1≠0兩種情況討論，①當a-1=0時，即a=1時，原方程變為-2x+2=0．方程的解為 x=1； ②根據方程有實數根，得出判別式≥0，再利用公式法求出方程的根，根據方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整數根，得出a的取值范圍，即可得出答案．

解答：解：（1）∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有兩個不相等的實數根，
∴

a-1≠0 △＞0

，
即

a≠1 △=[-(a+1)]2-4(a-1)•2＞0

，
∴a≠1且a≠3．

（2）①當a-1=0時，即a=1時，原方程變為-2x+2=0．
方程的解為 x=1；                            
②當a-1≠0時，原方程為一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0．
x=

(a+1)±(a-3)

2(a-1)

，解得x₁=1，x₂=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整數根．
∴只需

2

a-1

為正整數．
∴當a-1=1時，即a=2時，x₂=2；
當a-1=2時，即a=3時，x₂=1；   
∴a取1，2，3時，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整數．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根，根的判別式和公式法解一元二次方程．解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0，方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0，方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0，方程沒有實數根．