Question

【題目】 如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=(k＞0)的圖象交于A、B兩點，點P在以C(-2，0)為圓心，1為半徑的圓上，Q是AP的中點

（1）若AO=，求k的值；

（2）若OQ長的最大值為，求k的值；

（3）若過點C的二次函數y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件：①a+b+c=0；②當a≤x≤a+1時，函數y的最大值為4a，求二次項系數a的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）a的值為-3或2或-4或1．

【解析】

（1）設A(m，n)，根據勾股定理和一次函數圖象上點的坐標特征得出，解方程組即可求得A的坐標，代入y=可求得k的值；

（2）作輔助線，先確定OQ長的最大時，點P的位置，當BP過圓心C時，BP最長，設B(t，2t)，則CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根據勾股定理計算t的值，可得k的值；

（3）根據題意寫出拋物線的解析式為：y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a，即可判定-在a≤x≤a+1范圍外，故存在兩種可能，即當x=a時，有最大值4a，或x=a+1時有最大值4a，分別代入求得即可．

（1）設A(m，n)，

∵AO=，

∴m2+n2=5，

∵一次函數y=2x的圖象經過A點，

∴n=2m，

∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，

∵A在第一象限，

∴m=1，

∴A(1，2)，

∵點A在反比例函數y=(k＞0)的圖象上，

∴k=1×2=2；

（2）如圖，連接BP，

由對稱性得：OA=OB，

∵Q是AP的中點，

∴OQ=BP，

∵OQ長的最大值為，

∴BP長的最大值為×2=3，

如圖2，當BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，

∵CP=1，

∴BC=2，

∵B在直線y=2x上，

設B(t，2t)，則CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，

∴22=(t+2)2+(-2t)2，

t=0(舍)或-，

∴B(-，-)，

∵點B在反比例函數y=(k＞0)的圖象上，

∴k=-×(-)=；

（3）∵拋物線經過點C(-2，0)，

∴4a-2b+c=0，

又∵a+b+c=0，

∴b=a，c=-2a，

∴y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a，

∵-＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-，

當x=a時，取得最大值4a，

則aa2+aa-2a=4a，

解得a=-3或2，

當x=a+1時，取得最大值4a，

則a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，

解得a=-4或1，

綜上所述所求a的值為-3或2或-4或1．