Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）.

（1）求此拋物線所對應函數的表達式；

（2）若M 是拋物線對稱軸上一個動點，求當 MA+MC 的值最小時 M 點坐標；

（3）若拋物線的頂點為D，在其對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）M(1，2) ；（3）存在P點坐標為或（2，3），理由見解析

【解析】

（1）根據A、B的坐標設拋物線餓表達式是y＝a（x＋1）（x3），把C的坐標代入求出a，即可得出答案；

（2）根據點A關于對稱軸的對稱點為B，連接BC，直線BC與對稱軸的交點即為所求的點M．

（3）求出D的坐標和對稱軸的表達式，分為兩種情況：①若以CD為底邊，則PC＝PD．設P點坐標為（a，b），根據勾股定理求出b＝4a，代入拋物線求出a、b，②若以CD為一腰，根據拋物線對稱性得出點P與點C關于直線x＝1對稱，即可求出P的坐標．

（1）設表達式為 ，

拋物線與x軸交于點（﹣1，0）和（3，0），又點（0，3）在拋物線上，

則 ，

故所求的表達式為：

即

（2）由=知，

D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1

由題意得：點A關于對稱軸x=1的對稱點為點B，

連接CB交對稱軸為x=1于點M

設直線CB解析式為y=kx+b,∵C（0，3）B（3，0）

∴直線CB解析式為y=-x+3

又∵對稱軸為x=1

∴

∴

∴M(1，2)即為所求.

（3）存在，

由=知，

D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1

①以CD為底邊，則PC=PD

設P點坐標為

由勾股定理，得：

即．

又點P在拋物線上，∴，

∴

整理得:

解之得 ， （不合題意，舍去）

∴ ，

∴，

P

②若以CD為一腰，因點P在對稱軸右側的拋物線上，

由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，

此時點P坐標為（2，3）

綜上所述，符合條件的點P坐標為或（2，3）