Question

等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點D和E在AB邊上，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，則DE=    或    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形，分兩種情況討論．根據∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°判斷出△ACE∽△CDE∽△BDC，利用相似三角形的性質列出比例式，由比例式得到關于x的方程，解方程可得到DE的長．
解答：解：如圖1：設DE=x，則AB=7+x，
∵∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°
∴△ACE∽△CDE∽△BDC，
設CD=a，CE=b，
則有以下等式：
x：b=b：3+x，
x：a=a：4+x，
x：a=b：AC，
整理得，b²=x（x+3），
a²=x（x+4），
x•AC=ab，
x²（x+3）（x+4）=a²b²=x²•AC²=，
解得，x=5；
如圖2：與（1）類似，
得12x²=a²b²=，
x=7-2或x=7+2＞7（舍去），
∴x=5或x=7-2．

點評：本題考查了等腰直角三角形，根據角的值證出三角形相似并建立關于ED的方程是解題的關鍵．