Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（，），以點(diǎn)M為圓心，OM長為半徑作⊙M ．使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與軸、軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A（如圖），連接AM．點(diǎn)P是上的動點(diǎn)．

（1）∠AOB的度數(shù)為 ．

（2）Q是射線OP上的點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交軸于點(diǎn)E．

①當(dāng)QE與⊙M相切時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②在①的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中，求△ODQ面積的最大值及點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長．

 

Answer 1

（1）45°；（2）①E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；②△ODQ面積的最大值為8，Q經(jīng)過的路徑長為4．

【解析】

試題分析：（1）首先過點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，由點(diǎn)M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，繼而求得∠AOM=45°；

（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長，由于QE與⊙M相切，所以B與C重合，故△OBE為等腰直角三角形，從而得到OE=OB=，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②由OD=，Q的縱坐標(biāo)為t，即可得S=，當(dāng)動點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時，Q點(diǎn)與y軸上R點(diǎn)重合，此時Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，可求得OQ的長，繼而求得△ODQ的最大面積；由已知可得：Q在線段BR上運(yùn)動，顯然BR=OB=4．

試題解析：（1）過點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°；

（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，

∴OM==2，OD=2OH=，

∴OB=4，

∵QE與⊙M相切，∴B與C重合，∴△OBE為等腰直角三角形，∴OE=OB=，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

②∵OD=，Q的縱坐標(biāo)為t，∴S=．

如圖2，當(dāng)動點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時，Q點(diǎn)與y軸上R點(diǎn)重合，此時Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，

∵∠AOM=45°，OB=4，∠OBR=90°，∴BR=OB=4，∴OR=，∴，

∴．

∵Q只能在線段BR上運(yùn)動．∴Q經(jīng)過的路徑長為BR=4．

考點(diǎn)：圓的綜合題．