Question

已知在正方形ABCD中，對角線AC、DB交于點O，E是CD邊上一點，AE與對角線DB交于點M，連接CM．
（1）如圖，點F是線段CB上一點，AF與DB交于點N，連接CN．若∠CME=30°，∠CNF=50°．求：∠EAF的度數；
（2）若點F′是CB延長線上一點，AF′與DB的延長線交于點N′，連接CN′．如果∠CME=α，∠CN′F′=β，請用含有α、β的代數式表示∠EAF′的度數：

90°+

α-β

2

．（第（2）問只需填寫結論，不要求證明過程）．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的對角線互相垂直平分以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM，AN=CN，再根據等邊對等角的性質可得∠MAC=∠MCA，∠NAC=∠NCA，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠MAC與∠NAC的度數，相加即可得解；
（2）根據正方形的對角線互相垂直平分以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM，AN′=CN′，再根據等邊對等角的性質可得∠MAC=∠MCA，∠N′AC=∠N′CA，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠MAC，利用三角形的內角和等于180°求出∠N′AC，兩者相加即可得解．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，
∴AM=CM，AN=CN，
∴∠MAC=∠MCA，∠NAC=∠NCA，
∵∠CME=30°，∠CNF=50°，
∴∠MAC=

1

2

∠CME=15°，
∠NAC=

1

2

∠CNF=25°，
∴∠EAF=∠MAC+∠NAC=15°+25°=40°；

（2）如圖，∠EAF′=90°+

α-β

2

．
理由如下：在正方形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，
∴AM=CM，AN′=CN′，
∴∠MAC=∠MCA，∠N′AC=∠N′CA，
∵∠CME=α，∠CN′F′=β，
∴∠MAC=

1

2

∠CME=

1

2

α，
∠N′AC=

1

2

（180°-β）=90°-

1

2

β，
∴∠EAF′=∠MAC+∠N′AC=

1

2

α+90°-

1

2

β=90°+

α-β

2

．
故答案為：90°+

α-β

2

．

點評：本題考查了正方形的對角線互相垂直平分的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，綜合性較強，但難度不是很大，熟練掌握各性質并理清各角度之間的關系是解題的關鍵．