Question

如圖，已知在正方形ABCD中，E是AB的中點，延長BC到點F使CF=AE．求證：
（1）DE=DF；
（2）若H點為BC的中點，求證：AH⊥ED．

Answer 1

分析：（1）DE，DF分別為△AED和△DFC的斜邊，要證DE=DF，證明△ADE≌△CDF即可；
（2）要求證AH⊥ED，求∠EAG+∠AEG=90°即可，求證△ABH≌△DAE即可．

解答：證明：（1）在△AED和△DFC中，

CF=AE ∠DCF=∠DAE AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；

（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，

DA=AB ∠DAE=∠ABH AE=BH

，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE．

點評：本題考查了正方形各邊相等，各內角均為直角的性質，考查了全等三角形的判定和對應邊、對應角相等的性質，本題中證明△ADE≌△CDF和∠EAG+∠AEG=90°是解題的關鍵．