Question

是否存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？

Answer 1

【答案】分析：利用反證法，首先假設存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1），可得（m+1）²=n²+n+1，又由n²+n+1不是平方數，矛盾，即可證得不存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）．
解答：解：答案是否定的．
若存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1），
則m²+2m+1=n²+n+1，
∴（m+1）²=n²+n+1，
顯然n＞1，
于是n²＜n²+n+1＜（n+1）²，
∴n²+n+1不是平方數，矛盾．
∴不存在正整數m，n，使得m（m+2）=n（n+1）．…（5分）
點評：此題考查了完全平方數的應用問題．此題難度較大，解題的關鍵是利用反證法證明，注意完全平方數知識的應用．