Question

7．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，M為$\widehat{AD}$中點，連接BM，CM
（1）求證：BM=CM；
（2）當⊙O的半徑為2時，求∠BOM的度數．

Answer 1

分析 （1）根據圓心距、弦、弧之間的關系定理解答即可；
（2）根據正方形的性質得出∠BOC的度數，進而得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∵M為$\widehat{AD}$中點，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{DM}$，
∴$\widehat{AB}$+$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$+$\widehat{DM}$，即$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴BM=CM；

（2）解：連接MO，BO，CO，
∵正方形ABCD內接于⊙O，
∴∠BOC=90°，
∵$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴∠BOM=∠COM=135°．

點評 本題考查的是正方形的性質、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關系，掌握圓心距、弦、弧之間的關系定理是解題的關鍵．