試證明:二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的A、B兩點,并回答下列問題:
若二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象的頂點在以AB為直徑的圓上.
(1)m、n間有何關系?
(2)設以AB為直徑的圓與y軸交于點C、D,弦CD的長是否為定值?
分析:(1)要證明原拋物線與x軸有兩個不同的交點,只要證明當y=0時△>0就可以說明拋物線與x軸有兩個不同的交點.然后將拋物線的解析式轉化為頂點式,再根據根與系數的關系和兩點間的距離公式可以求出m、n之間的數量關系.
(2)利用垂徑定理和圓周角定理可以證明三角形相似來證明OD2=AO•OB,根據根與系數的關系可以求出OD的值,從而求出CD的值,判斷其為定值.
解答:解:令y=0時,則nx
2-2mx-2n=0,
∴△=(-2m)
2-4n(-2n)
=4m
2+8n
2
∵n≠0
∴△>0
∴方程nx
2-2mx-2n=0有兩個不同的實數根x
1,x
2
∴二次函數y=nx
2-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的交點.
(1)∵y=nx
2-2mx-2n

∴y=(x-
)
2-2n-
所以它的頂點坐標為(
,-2n-)
HE=|
-2n-|
∵x
1+x
2=
,x
1•x
2=-2
∴AB=|x
1-x
2|=
=
=
∴
=2|
-2n-|
變形為:m
2+2n
2=1

(2)連接AD、BD
∴∠ADB=90°
∴OD
2=OA•OB=|x
1|•|x
2|=|x
1x
2|=2
∴OD=
∵CD=2OD
∴CD=2
即CD的長為恒值2
.
點評:本題是一道二次函數的綜合題,考查了二次函數的圖象與x軸的交點坐標情況,根與系數的關系及頂點坐標的運用以及定長的問題.