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試證明:二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的A、B兩點,并回答下列問題:
若二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象的頂點在以AB為直徑的圓上.
(1)m、n間有何關系?
(2)設以AB為直徑的圓與y軸交于點C、D,弦CD的長是否為定值?
分析:(1)要證明原拋物線與x軸有兩個不同的交點,只要證明當y=0時△>0就可以說明拋物線與x軸有兩個不同的交點.然后將拋物線的解析式轉化為頂點式,再根據根與系數的關系和兩點間的距離公式可以求出m、n之間的數量關系.
(2)利用垂徑定理和圓周角定理可以證明三角形相似來證明OD2=AO•OB,根據根與系數的關系可以求出OD的值,從而求出CD的值,判斷其為定值.
解答:解:令y=0時,則nx2-2mx-2n=0,
∴△=(-2m)2-4n(-2n)
=4m2+8n2
∵n≠0
∴△>0
∴方程nx2-2mx-2n=0有兩個不同的實數根x1,x2
∴二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的交點.
(1)∵y=nx2-2mx-2n精英家教網
∴y=(x-
m
n
2-2n-
m2
n

所以它的頂點坐標為(
m
n
,-2n-
m2
n

HE=|-2n-
m2
n
|
∵x1+x2=
2m
n
,x1•x2=-2
∴AB=|x1-x2|=
(x1-x22
=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4m2
n2
+8

4m2
n2
+8
=2|-2n-
m2
n
|
變形為:m2+2n2=1
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(2)連接AD、BD
∴∠ADB=90°
∴OD2=OA•OB=|x1|•|x2|=|x1x2|=2
∴OD=
2

∵CD=2OD
∴CD=2
2

即CD的長為恒值2
2
點評:本題是一道二次函數的綜合題,考查了二次函數的圖象與x軸的交點坐標情況,根與系數的關系及頂點坐標的運用以及定長的問題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,二次函數y=-
14
x2+bx+c
的圖象經過點A(4,0),B(-4,-4),且與y軸交于點C.
(1)試求此二次函數的解析式;
(2)試證明:∠BAO=∠CAO(其中O是原點);
(3)若P是線段AB上的一個動點(不與A、B重合),過P作y軸的平行線,分別交此二次函數圖象及x軸于Q、H兩點,試問:是否存在這樣的點P,使PH=2QH?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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已知二次函數y=ax2+bx+c.
(1)若a=1,b=-3,且二次函數的圖象經過點(-2,15),求c的值;
(2)若a+c=1,b=2,且二次函數圖象與y軸的交點在直線y=1與y=2之間,試說明這個二次函數圖象的對稱軸在直線x=1的右側;
(3)若a+b+c=0,a>b>c,且二次函數的圖象經過點(m,-a),與x軸交于A、B兩點.請確定線段AB長的取值范圍,并證明你的結論.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

試證明:二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的A、B兩點,并回答下列問題:
若二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象的頂點在以AB為直徑的圓上.
(1)m、n間有何關系?
(2)設以AB為直徑的圓與y軸交于點C、D,弦CD的長是否為定值?

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試證明:二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的A、B兩點,并回答下列問題:
若二次函數y=nx2-2mx-2n的圖象的頂點在以AB為直徑的圓上.
(1)m、n間有何關系?
(2)設以AB為直徑的圓與y軸交于點C、D,弦CD的長是否為定值?

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