Question

已知二次函數y=ax²+bx+c．
（1）若a=1，b=-3，且二次函數的圖象經過點（-2，15），求c的值；
（2）若a+c=1，b=2，且二次函數圖象與y軸的交點在直線y=1與y=2之間，試說明這個二次函數圖象的對稱軸在直線x=1的右側；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函數的圖象經過點（m，-a），與x軸交于A、B兩點．請確定線段AB長的取值范圍，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由于a=1，b=-3，且二次函數的圖象經過點（-2，15），代入y=ax²+bx+c中即可得到關于c的方程，解方程即可求解；
（2）由a+c=1得到a=1-c，而對稱軸為直線x=-

b

2a

，又b=2，代入其中得到x=-

2

1-c

，而二次函數圖象與y軸的交點在直線y=1與y=2之間，由此得到1＜c＜2，利用這個結論即可解決問題；
（3）設A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），則x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，由求根公式得出x₁、x₂，根據AB=|x₂-x₁|求出線段AB長度的最小值

解答：解：（1）當a=1，b=-3時，二次函數為y=x²-3x+c，
因為該函數的圖象經過點（-2，15），
所以15=（-2）²-3×（-2）+c，
解得c=5；

（2）∵由題意1＜c＜2，
∴0＜c-1＜1，
∴

1

c-1

＞1，
由二次函數知其對稱軸x= -

b

2a

，
由b=2，a=1-c，則x=

1

c-1

，
∴二次函數知其對稱軸大于1；

（3）因為二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點（m，-a），
所以am²+bm+c+a=0，
所以q為方程am²+bm+c+a=0的根，
于是，△=b²-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，
所以3a-c＞0，
所以b≥0．
設x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
則AB之間的距離=

2 b2-4ac

2a

=

b2-4ac

a

=

a-c

a

=1-

c

a

＞1．
即線段AB的長＞1．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、拋物線交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關系及等腰三角形的性質與判定，也利用了三角函數的定義，綜合性比較強，定義學生的能力要求比較高，平時加強訓練．