Question

如圖，二次函數y=-

1

4

x2+bx+c的圖象經過點A（4，0），B（-4，-4），且與y軸交于點C．
（1）試求此二次函數的解析式；
（2）試證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點）；
（3）若P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交此二次函數圖象及x軸于Q、H兩點，試問：是否存在這樣的點P，使PH=2QH？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此只需將A、B兩點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）本題可先根據拋物線的解析式求出C點的坐標，然后根據這三點的坐標，求出∠CAO和∠BAO的正切值，以此來證明這兩角相等．
（3）可先根據直線AB的解析式設出P點的坐標，由于PH⊥x軸，因此P、Q兩點的橫坐標相等，可根據拋物線的解析式求出Q點的縱坐標，根據PH=2QH，即P的縱坐標的絕對值是Q的縱坐標絕對值的2倍，由此可求出P、Q的橫坐標，進而可求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵點A（4，0）與B（-4，-4）在二次函數圖象上，
∴

0=-4+4b+c -4=-4-4b+c

解得

b= 1 2 c=2

∴二次函數解析式為y=-

1

4

x²+

1

2

x+2．

（2）過B作BD⊥x軸于點D，由（1）得C（0，2），
則在Rt△AOC中，tan∠CAO=

CO

AO

=

2

4

=

1

2

，
又在Rt△ABD中，tan∠BAD=

BD

AD

=

4

8

=

1

2

；
∵tan∠CAO=tan∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO．

（3）由點A（4，0）與B（-4，-4），可得直線AB的解析式為y=

1

2

x-2，
設P（x，

1

2

x-2），（-4＜x＜4）；
則Q（x，-

1

4

x²+

1

2

x+2），
∴PH=|

1

2

x-2|=2-

1

2

x，QH=|-

1

4

x²+

1

2

x+2|．
∴2-

1

2

x=2|-

1

4

x²+

1

2

x+2|．
當2-

1

2

x=-

1

2

x²+x+4，
解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴P（-1，-

5

2

）
當2-

1

2

x=

1

2

x²-x-4，
解得x₁=-3，x₂=4（舍去），
∴P（-3，-

7

2

）．
綜上所述，存在滿足條件的點，它們是P₁（-1，-

5

2

）與P₂（-3，-

7

2

）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．