Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

Answer 1

（1）；（2）相交．證明見解析；（3）當m=3時，△PAC的面積最大為；此時，P點的坐標為（3，-）．

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可用頂點式設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入其中，即可求出此二次函數的解析式；

（2）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；

（3）過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設出P點的坐標，進而可表示出P、Q的縱坐標，也就得出了PQ的長；然后根據三角形面積的計算方法，可得出關于△PAC的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出△PAC的最大面積及對應的P點坐標．

試題解析：（1）設拋物線為y=a（x﹣4）2﹣1，

∵拋物線經過點A（0，3），

∴3=a（0﹣4）2﹣1，；

∴拋物線為

（2）相交．

證明：連接CE，則CE⊥BD，

當時，x1=2，x2=6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），

對稱軸x=4，

∴OB=2，AB=，BC=4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴，

即，

解得CE=，

∵＞2，

∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交．（7分）

（3）如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；

可求出AC的解析式為

設P點的坐標為（m，），

則Q點的坐標為（m，）；

∴PQ=﹣m+3﹣（）=﹣m2+m．

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6

=-（m﹣3）2+；

∴當m=3時，△PAC的面積最大為；

此時，P點的坐標為（3，-）．

考點：二次函數綜合題