Question

梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD為直徑的⊙O交AB于E，⊙O的切線EF交BC于F，求證：
（1）EF⊥BC；
（2）BF•BC=BE•AE．

Answer 1

分析：（1）根據已知利用切線的性質可得到∠BEF+∠B=90°，即EF⊥BC；
（2）利用兩組角對應相等的兩個三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根據相似三角形的對應邊成比例和AD=BC，即可得到BF•BC=BE•AE．

解答：證明：（1）連接OE，
∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，
∴∠DEF=∠OEA．
∵OA=OE，AD=BC，
∴∠OEA=∠A=∠B．
∴∠A=∠B=∠DEF．
∵∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠BEF+∠B=90°．
∴EF⊥BC；

（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，
∴△ADE∽△BEF．
∴

AD

BE

=

AE

BF

．
∵AD=BC，
∴

BC

BE

=

AE

BF

．
∴BF•BC=BE•AE．

點評：此題考查了相似三角形的性質與判定，切線的性質等知識及其運用能力．