Question

如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AB=10，BC=3．
（1）如果M為AB上一點(diǎn)，且滿足∠DMC=∠A，求AM的長(zhǎng)；
（2）如果點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)M與A，B不重合），且滿足∠DMN=∠A，MN交BC延長(zhǎng)線于N，設(shè)AM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先證明△ADM∽△MBC，根據(jù)相似比求得AN的長(zhǎng)即可．
（2）據(jù)題中的思路可證得△ADM∽△BMN，據(jù)已知AM=x，CN=y及相似三角形相似比可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：解：在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠A=∠B，
又∵∠A=∠DMC，∠1+∠2=∠3+∠DMC，
∴∠1=∠3，
∴△ADM∽△MBC，則

AM

AD

=

BC

BM

，AD=BC（已知），
設(shè)AM=x，則

x

3

=

3

10-x

，
∴x²-10x+9=0，∴x=1或x=9，
∴AM的長(zhǎng)為1或9．

（2）同理可證△ADM∽△BMN，
可得

AM

AD

=

BN

BM

即

AM

BC

=

BC+CN

AB-AM

代入數(shù)值得y=-

1

3

x2+

10

3

x-3（0＜x＜1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，涉及到二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生綜合知識(shí)的運(yùn)用及綜合解題的能力．