Question

如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F．
（1）探索線段OE和OF的大小關系并說明理由；
（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是菱形？請說明理由．

Answer 1

解：（1）OE=OF．
理由：因為四邊形ABCD是矩形，所以OB=OD，AB∥CD，
則∠E=∠F，∠EBO=∠FDO，
所以△BOE≌△DOF，則OE=OF；

（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．
理由：因為四邊形ABCD是矩形，所以OA=OC，
由（1）知OE=OF，則四邊形AECF是平行四邊形，
又EF⊥AC，所以四邊形AECF是菱形．
分析：（1）根據四邊形ABCD是矩形可證明△BOE≌△DOF，從而即可得出答案；
（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據菱形的判定性質即可證明；
點評：本題考查了矩形的性質及菱形的判定，屬于基礎題，關鍵是掌握矩形的性質與菱形的判定方法．