Question

某公園有一圓弧形的拱橋，如圖已知拱橋所在圓的半徑為10米，拱橋頂D到水面AB的距離DC=4米．
（1）求水面寬度AB的大小；
（2）當水面上升到EF時，從點E測得橋頂D的仰角為α，若cotα=3，求水面上升的高度．

Answer 1

解：（1）設拱橋所在圓的圓心為O，由題意可知，點O在DC的延長線上，連接OA，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，OA=10，OD=OC-DC=10-4=6，
∴AD=8，
∵OD⊥AB，OC是半徑，
∴AB=2AD=16，
即水面寬度AB的長為16米．

（2）設OD與EF相交于點G，連接OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠EGC=∠EGO=90°，
在Rt△EGC中，cotα==3，
∴EG=3CG，
設水面上升的高度為x米，即DG=x，則CG=4-x，
∴EG=12-3x
在Rt△EGO中，EG²+OG²=OE²，（12-3x）²+（6+x）²=10²，化簡得 x²-6x+8=0
解得x₁=4（舍去），x₂=2，
答：水面上升的高度為2米．
分析：（1）設拱橋所在圓的圓心為O，由題意可知，點O在DC的延長線上，連接OA，在Rt△ADO中利用勾股定理求出AD的長，再由垂徑定理求出AB=2AC即可得出答案；
（2）設OD與EF相交于點G，連接OE，由EF∥AB，OD⊥AB，可知OD⊥EF，∠EGC=∠EGO=90°，在Rt△EGC中，由cotα==3，可知EG=3CG，設水面上升的高度為x米，即DG=x，則CG=4-x，則EG=12-3x，在Rt△EGO中，利用勾股定理即可求出x的值，進而得出結論．
點評：本題考查的是勾股定理及垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．