Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，

AD

BC

=

2

5

，cosB=

3

5

，P是邊BC上的一個動點，∠APQ=∠B，PQ交射線AD于點Q．設點P到點B的距離為x，點Q到點D的距離為y．
（1）用含x的代數式表示AP的長．
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域．
（3）△CPQ與△ABP能否相似？如果能，請求出BP的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A作AH⊥BC于點H，可以求出AH，BH的長度，然后在Rt△AHP中，利用勾股定理表示AP的長度；
（2）先利用

AD

BC

=

2

5

與等腰梯形的性質求出AD、BC的長度，然后證明△APQ和△PBA相似，根據相似三角形對應邊成比例的性質列出比例式，再代入數據進行整理即可得到y關于x的函數解析式；
（3）要使△CPQ與△ABP相似，因為可以證明∠BAP=∠CPQ，所以還必須有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B，因此需要分兩種情況進行討論，根據相似三角形對應邊成比例列比例式進行求解即可．

解答：解：（1）作AH⊥BC于點H．
∵cosB=

3

5

，AB=5，
∴BH=3，AH=4．（2分）
在Rt△AHP中，
AP=

(3-x)2+42

=

x2-6x+25

．（1分）

（2）∵

AD

BC

=

2

5

，
∴

AD

6+AD

=

2

5

．
∴AD=4，BC=10．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB．
∵∠APQ=∠B．
∴△APQ∽△PBA．（1分）
∴

AQ

AP

=

AP

BP

．（1分）
∴

y+4

x2-6x+25

=

x2-6x+25

x

．
∴y=

x2-10x+25

x

．（1分）
定義域為0＜x≤10；（1分）

（3）要使△CPQ與△ABP相似，必須有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B．
（i）如果∠PQC=∠B，那么∠APQ=∠PQC．
∴AP∥CQ．
∵AQ∥PC，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．（1分）
∴AQ=PC，即y+4=10-x．
∴

x2-10x+25

x

+4=10-x．（1分）
整理，得2x²-16x+25=0．
∴x=

16± 162-4×2×25

4

=

16± 56

4

=

8± 14

2

．（1分）
（ⅱ）如果∠PCQ=∠B時，那么點Q與點D重合．（1分）
∴y=0，即

x2-10x+25

x

=0．（1分）
∴x=5．（1分）
綜上所述，△CPQ與△ABP能相似，此時BP=

8± 14

2

或5．

點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及解直角三角形，綜合性較強，需要結合圖形，對各知識點綜合考慮并靈活運用方能解決．