Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的QO分別與BC、AC交于點D、E，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）求證：∠EDF＝∠DAC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接OD，求出OD⊥DF，根據切線的判定求出即可；

（2）連接BE，求出∠FDC＝∠EBC，∠FDC＝∠EDF，即可求出答案．

（1）證明：連接OD，

∵AB＝AC，OB＝OD，

∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴AC∥OD，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD過O，

∴DF是⊙O的切線；

（2）證明：連接BE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴BE∥DF，

∴∠FDC＝∠EBC，

∵∠EBC＝∠DAC，

∴∠FDC＝∠DAC，

∵A、B、D、E四點共圓，

∴∠DEF＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠EDF＝∠FDC，

∴∠EDF＝∠DAC．